現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」。知能が低下してサルになっています）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people （知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾； ）
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

>>418
(引用開始)
したがって、Z/4Z ＼ 0 は乗法について閉じていない。
このことから、代数系 (Z/4Z, +, ×) は（4 を法とする剰余類環として）可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない（位数 4 の有限体 F4 は存在するにも関わらず、である）。
(引用終り)

位数 4 の有限体 F4について（＾＾
「要は1の原始3乗根を添加した体がF4である」か
複素数まで考えないといけないんだ（＾＾；
http://br-h2gk.hatenabloｇ.com/entry/finite_field_02
数学とその他の日々
有限体F_2,F_4,F_8,F_16の構造決定 2015-12-17
(抜粋)
F4について
3つのアプローチがある。
1つ目としては、x^4?x=x(x?1)(x^2+x+1)の最小分解体だから、
x^2+x+1のF2上の分解体になり、
その根 ω∈F￣2、
要は1の原始3乗根を添加した体がF4である。

したがって、F4={0,1,ω,ω2}となる。
ωの演算についてはQ上のそれとは異なるが、
考え方は一緒で、ほとんど符号を無視するだけなので省略する。
もしくは、商をとる順番を換える典型的な方法によって
F2[x]/(x^2+x+1)=~ Z[x]/(2,x^2+x+1)=~ Z[ω]/(2)
と捉えてもよい。
ここでいう右端のωは通常のω∈Cの意味である。

このx^2+x+1という既約多項式を見つけるには
他に2つの考え方があり、
1つはフェルマーの小定理からF2の元は常にx^2+x=0なので、
x^2+x+1はF2上の根を持たず、既約であるというもの。

もう1つは、標数2の体上の2次拡大だから、アルティン＝シュライヤー拡大で、
x^2?x?aの形で根を添加すればよい、ということだが、
a=0は明らかに駄目だからx^2?x?1=x^2+x+1が求まる。
(引用終り)
以上

>>421 文字化け

1つ目としては、x^4?x=x(x?1)(x^2+x+1)の最小分解体だから、
　↓
1つ目としては、x^4-x=x(x-1)(x^2+x+1)の最小分解体だから、

などね。wikipediaからのコピペでもよくおきるが
?の部分が-なんだ
まあ、原文見てください（＾＾

>>421 参考追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
アルティン・シュライアー理論
(抜粋)
数学において、アルティン・シュライアー理論 (Artin?Schreier theory) は、標数 p の体の p 次ガロワ拡大の記述を与える。従ってそれはクンマー理論では記述できない場合を扱う。

目次
1 アルティン・シュライアー拡大
2 アルティン・シュライアー理論
3 歴史的コメント

アルティン・シュライアー拡大
K を標数 p の体とし、a をこの体のある元とする。多項式 X^p - X + a の分解体への K の拡大をアルティン・シュライアー拡大と呼ぶ。
b がこの多項式の 1 つの根であれば、0 から p - 1 までの i に対して b + i がその多項式の全ての根であり（cf. フロベニウス準同型）、それらは相異なる。すると 2 つの場合があり得る。
略

アルティン・シュライアー理論
アルティン・シュライアー理論は上の事実の逆をいうものである。
略

歴史的コメント
アルティン・シュライアー型の多項式は1866年に出版された Joseph-Alfred Serret（フランス語版） の Cours d'algebre superieure の第三版の有限体についての章において既に見つかる[2]。
セレは整数 g が素数 p で割れなければ多項式 X^p - X + a は mod p で既約であること、現代的な言葉で言えば、すべての g ∈ Fp* に対して X^p - X - g は既約であること、を証明している[3]。
（注：このセレは1866年の人な（＾＾）
この結果は上のことから標数 p の体を Fp として証明できる。