「Ｈが正規部分群でなくても、σ-1・Ｈ・σはＨと同型」

ｅをＧの（そしてＨの）単位元とする
ｇ、ｈをＨの元とする
h-1をｈの逆元とする

σ-1・ｅ・σ＝ｅ
σ-1・ｇ・σ・σ-1・ｈ・σ＝σ-1・ｇ・ｈ・σ
σ-1・ｈ・σ・σ-1・ｈ−１・σ＝σ-1・ｈ・ｈ−１・σ＝σ-1・ｅ・σ＝ｅ

★正規部分群でない部分群の例
S3の中のS2　{e,(12)}

(13)(12)(13)=(23)　{e,(23)}≠{e,(12)}
(23)(12)(23)=(13)　{e,(13)}≠{e,(12)}

群としては同型だが、集合としては等しくない

☆正規部分群である部分群の例
S3の中のA3　{e,(123),(132)}

(12)(123)(12)=(12)(12)(23)(12)=(132)
(12)(132)(12)=(12)(23)(12)(12)=(123)

(13)(123)(13)=(13)(23)(13)(13)=(132)
(13)(132)(13)=(13)(13)(23)(13)=(123)

(23)(123)(23)=(23)(12)(23)(23)=(132)
(23)(132)(23)=(23)(23)(12)(23)=(123)

恒等変換でないが、集合としては等しい