>>802
> ５次以上の代数方程式の根はよっぽど幸運でもない限り

いやね
５次の代数方程式のガロア群が、正20面体群になるんだけど（下記）
正20面体群がいまいち、すっきりしたイメージが湧かないので
（証明では、位数60の単純群までしか分解できないのは、長さ3と5の置換の組合わせで位数60になるというのだけれど・・）
下記の「正20面体と5次方程式　（シュプリンガー数学クラシックス）」も、買って読みましたよ
あとまあ、いろいろ調べたりして、なんとなく分かった気になったよ（＾＾

なお、５次の代数方程式が代数的に解けるのは、方程式のガロア群が
彌永先生の本や倉田本では、線形群と書いていたけど、位数20の群になるとき
まあ、下記の「PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 ?2003」に詳しい

（参考）
https://books.rakuten.co.jp/rb/9570192/
楽天ブックス
正20面体と5次方程式　（シュプリンガー数学クラシックス）
フェリックス・クライン
発売日： 1997年04月
著者／編集： フェリックス・クライン, 関口次郎
出版社： シュプリンガー・ジャパン
発行形態： 単行本
ページ数： 317p

http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 ?2003

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93
正二十面体
(抜粋)
正二十面体の回転対称群（英語版）は5文字の交代群 A_{5} に同型である。位数は60。
この非可換単純群は5文字の対称群 S_{5} の唯一の非自明な正規部分群である。
一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。
アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。
そしてフェリックス・クラインは正二十面体的対称性（英語版）の理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いた (Klein 1888)。
詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質（英語版）を見よ。