>>912
＞ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0

これは、二項方程式 x^n - 1=0
で、
下記の根と係数の関係を適用すると
上記の方程式のn-1次の項が0であることから
導かれるね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%B9%E3%81%A8%E4%BF%82%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%A2%E4%BF%82
根と係数の関係
(抜粋)
根と係数の関係
n 個の文字 α1, α2, ..., αn に関する p 次基本対称式を s p(α1, α2, ..., αn) あるいは単に sn,p とする。
例えば
sn,1 = α1 + α2 + … + αn,
　・
　・
sn,n = α1α2… αn.

x に関する n 次式 anx^n + an?1x^n?1 + … + a1x + a0 の根が α1, α2, ..., αn であるとき、
sn,n-k=(-1)^{n-k}・ak/an
（k = 0, 2, ..., n ? 1）が成り立つ。これを多項式の根と係数の関係という。