>xが無理数の場合、⑥が有理数解を持つことはありえます。
⑥が有理数解を持たないことの証明はできていません。

xが無理数のとき、x,y,zが整数比となるならば、
x,y,zを共通の無理数dで割った、x/d,y/d,z/dは、
有理数となります。x,y,zが、有理数とならないので、
X,Y,Zも、有理数となりません。