>>383

つづき

5. 幾何化予想の証明のあらすじ

定理 36 (グラフ多様体定理，塩谷・山口 [SY], cf. Perelman [Pe2, 7.4]) 以下を満
たす小さな正の数 v0 > 0 が存在する：向き付け可能な3次元閉リーマン多様体 (M, g)
の断面曲率が ?1 以上で体積 Vol(M, g) が v0 未満ならば，M の基本群 π1(M) は有限
であるか，M はグラフ多様体である．
Perelman による定理 36 の証明は未だ発表されていないが，塩谷・山口が同時期に
独立に証明した．

また，Perelman の３本目のプレプリント [Pe3] では，任意の正規化された単連結 3
次元閉リーマン多様体を初期値とする手術付きリッチフローは有限時間で必ず消滅す
ることが証明されている．これにより，手術付きリッチフローの長時間挙動の考察を
必要としないポアンカレ予想の比較的短い別証明が得られる．
以上が Perelman による幾何化予想とポアンカレ予想の証明のあらすじである．

6. おわりに
最後に，ポアンカレ予想に関連した現時点での未解決問題を挙げる．
問題 37 (4次元可微分ポアンカレ予想) 4次元球面 S
4 に同相な4次元可微分閉多様体
は S
4 に微分同相か？
一般に，２つの可微分多様体が同相でも微分同相とは限らない．実際，J. Milnor (1956)
が構成した異種球面 (exotic sphere) と呼ばれる 7 次元球面 S
7 に同相だが微分同相で
ない7次元多様体の例が知られている．
4 次元ポアンカレ予想，つまり「4 次元球面にホモトピー同値な 4 次元閉多様体は 4
次元球面に同相である」ことは M. Freedman (1982) により証明されているため，問
題 37 は「4 次元球面にホモトピー同値な 4 次元可微分閉多様体は 4 次元球面に微分同
相であるか？」と言い換えられる．この問題 ([石田]も参照) にリッチフローは有効で
あろうか？
(引用終り)
以上