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>z^2=x^3+x^3を満たす自然数x,y,zを考えます。
z^2×1=(x+y)(x^2-xy+y^2)ですが
これから1=x^2-xy+y^2とz^2=x+yは導けません。
x=1,y=2,z=3が反例です。

>ですから左辺がz^pであるという特殊性を使った証明が必要はなずです。

「x=1,y=2,z=3が反例です。」この場合、
9×1=(1+2)(1-2+4)となるので、
9×1=3×3
9×1=3×3×3×1/3
9×1=9×1となります。

「左辺がz^pであるという特殊性を使った証明が必要はなずです。」
この意味を詳しく説明していただけないでしょうか。