＜ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス＞
・自然数N（1, 2, 3, …）を、奇数と偶数とに分ける
・奇数 1,3,5,・・・、偶数 2,4,6,・・・
・2つの数列を直列した数列 奇数列＋偶数列：1,3,5,・・・,2,4,6,・・・
・上記の数列に先頭から番号を振ります：1→1,2→3,3→5,・・,n→2n+1・・,ω→2,ω+1→4,ω+2→6,・・・
・つまり、自然数Nは 無限集合なので「その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい」（ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
(抜粋)
パラドックスの内容
それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。
この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は pn（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。

現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。
数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。
これは無限集合の特徴である。
この可算無限集合の基数は N0（アレフ・ゼロ、アレフ・ヌル）と表される。

https://math-fun.net/20180731/996/
趣味の大学数学
ガリレオのパラドックスとヒルベルトの無限ホテルから感じる、無限集合の性質
2018年7月31日2019年10月25日
(抜粋)
目次
ガリレオのパラドックス
ヒルベルトの無限ホテル
無限集合の不思議