まず確率の問題なのだから測度空間を設定しなければならないのはその通り。
ではこの問題が測度空間が設定し得ない確率の問題として捉え得ないのかというとそうではない。
まず各箱に入れる実数の分布は問題に明示されてない。
しかしされてない事がこの問題のKeyと言ってしまいそうなのが罠。
もしこの問題のおかしいところを自宅課題として出して出てきたレポートにそう書いてあったら、担当講師は
「じゃあ、この問題に各実数の分布が(0,1)の一様分布とか確率1/2で0,1のベルヌーイ分布って指示されてたらこの議論は成立する事になるのか？確率99%で当てられるのか？」
と聞いてくる。
もちろんそんな事はない。
なのでこの問題で具体的な分布が指定されてない事は目眩しの罠でしかない。
ホントに指摘すべきことは有限個の事象では成立しているある公式が事象の数が無限個になると使える場合と使えない場合があると言うお話。
ちゃんと確率論の勉強した事ある人間ならあーあーあの話ね、なるほどと絶対わかるお話。
確率論の講義なら第一講の課題レポートで出されても不思議のないお話。