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>>z^p=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}のx,y,zが有理数のとき、式を満たすならば、
>1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}と、z^p=(x+y)を、共にx,y,zが有理数のときに、満たします。
上記主張の証明をお願いします。

pが奇素数の場合も、p=2の場合も、形は同じなので、x^2=(z+y)(z-y)を考えます。
(x^2/a)*a=(z+y)(z-y)
a=(z-y)、(x^2/a)=(z+y)が有理数で成り立てば、x^2=(z+y)(z-y)も有理数で成り立ちます。

>訂正します。B=Cのとき、A=Dとなります。
答えになってません。AB=CDであって、B=DでもB=Cでもない場合のことを聞いています。
まじめに答えてください。

よく意味がわからないのですが、
(x^2/a)*a=(z+y)(z-y)ならば、a=(z-y)のとき、(x^2/a)=(z+y)となる。では、駄目でしょうか？

> x=1、y<1とすると、1<(x^p+y^p)/(x+y)となります。
これで証明のつもりですか？冗談はやめてください。
x>1,y<1の場合は何も言えませんよ。

1=(x^p+y^p)/(x+y)は、x^p+y^p=(x+y)なので、
x^p+y^p=(x+y)が有理数のとき成り立つのは、(x,y)=(1,1)、(x,y)=(0,1)、(x,y)=(1,0)のみである。