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>z^p/a=x+y, a={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)} (aは1以外の自然数) …(1)
を満たす有理数解が存在する場合
z^p=x+y, 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)} …(2)
(2)の解で(1)の解と比が同じになるものを考えると、(2)の解は(1)の解の1/a^{1/(p-1)}倍になります。
pは奇素数なので、これは一般的には有理数ではありません。

>ですから、(1)の有理数解が存在する場合に(2)の有理数解が必ず存在するとは言えま
せん。

(2)の有理数解が存在しないので、(1)の有理数解も存在しません。

>結論としては、、
z^p=（x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
に有理数解があるかどうか判断するのに
z^p=x+y, 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
の有理数解だけを考えればよいことにはなりません。

z^p=x+y, 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}に有理数解がないならば、
z^p=（x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}にも有理数解は、ありません。
z^p=（x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}の解の比と
z^p=x+y, 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}の解の比が同じだからです。