フェルマーの最終定理の簡単な証明6

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}と変形して、
z^p=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}…(1)を考える。
(z^p/a)a=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}…(2)
(z^p/1)1=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(z^p/1)=A、1=B、(x+y)=C、{x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}を満たす自然数は、x=1、y=1のみである。
これを、(z^p/1)=(x+y)に代入すると、zが自然数のとき、式は成り立たない。
(3)が成り立たないので、(1),(2)も成り立たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>169
>1=(z-y)は、z=5、y=3のとき、成り立たない。

どのような、意味があるのでしょうか？

>172
>A=x^2,C=2x-1の場合A=Cですか？　A≠Cですか？

A≠Cと、A=Cの場合があります。

（再掲）
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=4のとき、成り立つ。
これを、(x^p/1)=(z+y)に代入すると、x=3のとき、成り立つ。
(3)が成り立つので、(1),(2)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

(別解)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)とする。
(2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなる。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x,yが自然数のとき、zは自然数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>>175
5-3は1ではないという意味です。
正しいですよね？

証明は、○○であるとき△△である、という1つ1つが正しい文を
最初の仮定からつなげていくものなので
「5-3は1ではない」が正しければ
結論が正しいか
他のところが間違えているか
どちらかです。

>169
>改変
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=3のとき、成り立たない。
{ 1=(z-y)
{ (x^p/1)=(z+y)
が成り立たないので、(3)が成り立たない。
(3)が成り立たないので、(1),(2)も成り立たない。
∴pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

これは、a=2の場合となります。

>179
>5-3は1ではないという意味です。
正しいですよね？

5-3は2なので、
(x^2/2)=(z+y)(z-y)の場合となります。

>181
訂正
5-3は2なので、
(x^2/2)2=(z+y)(z-y)の場合となります。

>>176 日高
> >172
> >A=x^2,C=2x-1の場合A=Cですか？　A≠Cですか？
>
> A≠Cと、A=Cの場合があります。

どういう場合にA≠Cでどういう場合にA=Cですか？

>183
>>A=x^2,C=2x-1の場合A=Cですか？　A≠Cですか？
>
> A≠Cと、A=Cの場合があります。

どういう場合にA≠Cでどういう場合にA=Cですか？

x=1のとき、A=Cとなります。
それ以外は、A≠Cとなります。

>>184
多項式と見た場合、等しいですか？

汲むべき点が一つもないゴミ

>185
>>>184
多項式と見た場合、等しいですか？

どういう意味でしょうか？

>186
>汲むべき点が一つもないゴミ

何なのか、分かりません。

（再掲）
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=4のとき、成り立つ。
これを、(x^p/1)=(z+y)に代入すると、x=3のとき、成り立つ。
(3)が成り立つので、(1),(2)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

(別解)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)とする。
(2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなる。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x,yが自然数のとき、zは自然数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>>182
証明に
> (3)が成り立たない。
> (3)が成り立たないので、(1),(2)も成り立たない。
とあります。
>>1の証明も、(3)以外を調べていません。
よって>>169が間違っているなら、同様に>>1の証明も間違っています。

>>187 日高
> >185
> >>>184
> 多項式と見た場合、等しいですか？
>
> どういう意味でしょうか？

君、証明の中でA=Cとかって書いてるよね。
多項式として等しいって意味じゃないの？

>192
>君、証明の中でA=Cとかって書いてるよね。
多項式として等しいって意味じゃないの？

そういう意味です。

>>190 日高
> (別解)
> 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
> 【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
> (1)を(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
> (y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
> r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)とする。
> (2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなる。

ここの、(1)から(2)への式の展開は何の意味もないよ。

>>193 日高
> >192
> >君、証明の中でA=Cとかって書いてるよね。
> 多項式として等しいって意味じゃないの？
>
> そういう意味です。

じゃあその定義は？　言えるよね。

>194
>> 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
> 【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
> (1)を(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
> (y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
> r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)とする。
> (2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなる。

ここの、(1)から(2)への式の展開は何の意味もないよ。

どうしてでしょうか？理由を教えていただけないでしょうか。

>195
>> >君、証明の中でA=Cとかって書いてるよね。
> 多項式として等しいって意味じゃないの？
>
> そういう意味です。

じゃあその定義は？　言えるよね。

A=Cとなるものは、OKです。

>>196 日高
> どうしてでしょうか？理由を教えていただけないでしょうか。

じゃあなんの意味があるの？

>>197 日高
> > じゃあその定義は？　言えるよね。
>
> A=Cとなるものは、OKです。

だから、その定義を言ってごらん、と言っているんだ。

>>182
証明に
> (3)が成り立たないので、(1),(2)も成り立たない。
と書いてあります。
> (x^2/2)2=(z+y)(z-y)の場合となります。
これは(2)ですよね？
(3)が成り立たないなら、(2)も成り立たない。自明のことです。
よって>>169の結論が正しいか
他のところが間違えているか
どちらかです。

>198
>> どうしてでしょうか？理由を教えていただけないでしょうか。

じゃあなんの意味があるの？

(2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなるので、
r=p^{1/(p-1)}となります。

>199
>> A=Cとなるものは、OKです。

だから、その定義を言ってごらん、と言っているんだ。

特別な、定義はありません。

>>201 日高
> >198
> >> どうしてでしょうか？理由を教えていただけないでしょうか。
>
> じゃあなんの意味があるの？
>
> (2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなるので、
r=p^{1/(p-1)}となります。

(1)に代入したってそうなるじゃん。

>>202 日高
> >199
> >> A=Cとなるものは、OKです。
>
> だから、その定義を言ってごらん、と言っているんだ。
>
> 特別な、定義はありません。

定義なしじゃあ議論できないだろう？

>200
>よって>>169の結論が正しいか
他のところが間違えているか
どちらかです。

結論「pが2のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。」
は、間違いです。

>203
>> (2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなるので、
r=p^{1/(p-1)}となります。

(1)に代入したってそうなるじゃん。

(1)にr=p^{1/(p-1)}を代入しても、そうなります。

>204
>> 特別な、定義はありません。

定義なしじゃあ議論できないだろう？

強いて、言えば「A=Cとなるものは、OKです。」が定義となります。

（再掲）
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=4のとき、成り立つ。
これを、(x^p/1)=(z+y)に代入すると、x=3のとき、成り立つ。
(3)が成り立つので、(1),(2)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

>>205

証明というのは
(仮定)ならば△△である、は正しい
△△ならば◇◇である、は正しい
△△ならば〇〇である、は正しい
○○ならば(結論)である、は正しい

のように、正しい分をつなげていくものなので
結論だけ間違っている、ということはありません。
>>169の結論は正しいか、
別のところが間違っているか
どちらかです。

(別解)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)とする。
(2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなる。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x,yが自然数のとき、zは自然数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>>206 日高
じゃあそうすりゃいいじゃん。

>209
>証明というのは
(仮定)ならば△△である、は正しい
△△ならば◇◇である、は正しい
△△ならば〇〇である、は正しい
○○ならば(結論)である、は正しい

のように、正しい分をつなげていくものなので
結論だけ間違っている、ということはありません。
>>169の結論は正しいか、
別のところが間違っているか
どちらかです。

169の結論は間違いです。

>>207 日高
> 強いて、言えば「A=Cとなるものは、OKです。」が定義となります。

それじゃ定義にならないよ。そんな態度で議論してたのか、いままで。
教科書読め。

>211
>>>206 日高
じゃあそうすりゃいいじゃん。

根拠が、必要です。

>>212
>>208と同じ理屈しか使っていないので
>>169の結論が間違いならば、>>208は間違いです。

>>212
日高はまともに勉強してきてないから、
間違った証明なるものを見たことがない。
よって日高にとってはすべての証明は正しい！

>213
>> 強いて、言えば「A=Cとなるものは、OKです。」が定義となります。

それじゃ定義にならないよ。そんな態度で議論してたのか、いままで。
教科書読め。

どうして、定義にならないのでしょうか？

>>214 日高
> >211
> >>206 日高
> じゃあそうすりゃいいじゃん。
>
> 根拠が、必要です。

これこれとおく、のに根拠なんかいらないよ。

>>217 日高
> どうして、定義にならないのでしょうか？

では、君の知っている定義なるものをひとつあげてください。
何の定義でも構いません。

>215
>>>169の結論が間違いならば、>>208は間違いです。
169の
1=(z-y)は、z=5、y=3のとき、成り立たない。が、間違いなので、
結論が、間違いと、なります。

>216
>>>212
日高はまともに勉強してきてないから、
間違った証明なるものを見たことがない。
よって日高にとってはすべての証明は正しい！

「すべての証明は正しい！」
というわけでは、ありません。

>218
>> 根拠が、必要です。

これこれとおく、のに根拠なんかいらないよ。

どうしてでしょうか？

>>220
> 1=(z-y)は、z=5、y=3のとき、成り立たない。

あなたの書き込み
> 5-3は2

一致しています。
「1=(z-y)は、z=5、y=3のとき、成り立たない。」は正しいです。
よって>>169の結論は正しいか
他のところが間違えているか
どちらかです。

？？？：【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
？？？：x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
？？？：(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
？？？：(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
？？？：等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
？？？：(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
？？？：(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
？？？：AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
正しい：1=(z-y)は、z=5、y=3のとき、成り立たない。
？？？：{ 1=(z-y)
？？？：{ (x^p/1)=(z+y)
？？？：が成り立たないので、(3)が成り立たない。
正しい：(3)が成り立たないので、(1),(2)も成り立たない。
正しい：∴pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>219
>> どうして、定義にならないのでしょうか？

では、君の知っている定義なるものをひとつあげてください。
何の定義でも構いません。

偶数とは、２の倍数である。

>223
>正しい：1=(z-y)は、z=5、y=3のとき、成り立たない。
？？？：{ 1=(z-y)
？？？：{ (x^p/1)=(z+y)
？？？：が成り立たないので、(3)が成り立たない。
正しい：(3)が成り立たないので、(1),(2)も成り立たない。
正しい：∴pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

正しい：1=(z-y)は、z=5、y=3のとき、成り立たない。から、
正しい：∴pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。は、導けません。

z=5、y=3は、1=(z-y)の自然数解では、ありませんが、
z=5、y=4は、1=(z-y)の自然数解です。

>>225
> (3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
> (3)が成り立たないので、(1),(2)も成り立たない。
これを書いたのはあなたです。

> z=5、y=3は、1=(z-y)の自然数解では、ありません
なら
> pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
となります。

>>215で1か所間違っていたので謝ります。
>>169と>>208の理屈が同じと書きましたが
1か所違うところがあります。
値がy=3かy=4かというところではもちろんありません。
理屈が違うところが1か所あります。
すみませんでした。

>226
>> z=5、y=3は、1=(z-y)の自然数解では、ありません
なら
> pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
となります。

どうして、z=5、y=3は、1=(z-y)の自然数解でないことが、
pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。ことになるのでしょうか？

（再掲）
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=4のとき、成り立つ。
これを、(x^p/1)=(z+y)に代入すると、x=3のとき、成り立つ。
(3)が成り立つので、(1),(2)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

(別解)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)とする。
(2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなる。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x,yが自然数のとき、zは自然数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>>228

> (3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
> (3)が成り立たないので、(1),(2)も成り立たない。

これを書いたのはあなたです。
これは自明です。正しい。なぜならわざわざ書くまでもなく同じ式ですから。
今調べているのは(1)が成り立つかどうかですから
(1)が成り立たないなら、
「pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。」
になるのは当然です。

>>231注
もちろんaが0でない場合です、念のため

>231
>

どうして、z=5、y=3は、1=(z-y)の自然数解でないことが、
pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。ことになるのでしょうか？

「z=5、y=3は、1=(z-y)の自然数解でない」は、一つの例でしかありません。
「x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。」は、全ての自然数に、対してのものです。

>>233

そうですね。
「x=1、y=1は(z^p/1)=(x+y)の自然数解でない」は、一つの例でしかありません。
「x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。」は、全ての自然数に、対してのものです。

よって>>1の証明は間違っています。

さらっと x=1、y=1 にしてるんだな

>234
>「x=1、y=1は(z^p/1)=(x+y)の自然数解でない」は、一つの例でしかありません。

x=1、y=1は一つの例では、ありません。
1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}を満たす自然数は、x=1、y=1のみです。

>235
>さらっと x=1、y=1 にしてるんだな

x=1、y=1のみです。

>>236
z=5、y=3が
{ 1=(z-y)
{ (x^p/1)=(z+y)
を満たさないのは1つの例であって、実際は
{ 2=(z-y)
{ (x^p/2)=(z+y)
を満たすのと同様に
x=1、y=2が
{ 1=(z-y)
{ (x^p/1)=(z+y)
を満たさないのは1つの例であって、実際は
{ 3=(z-y)
{ (x^p/3)=(z+y)
を満たすかもしれない。

全ての自然数に、対しての証明は不可能なので
>>1の証明は間違っています。

>>238間違えました、書き直します。

z=5、y=3が
{ 1=(z-y)
{ (x^p/1)=(z+y)
を満たさないのは1つの例であって、実際は
{ 2=(z-y)
{ (x^p/2)=(z+y)
を満たすのと同様に
x=1、y=2が
{ 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
{ (x^p/1)=(z+y)
を満たさないのは1つの例であって、実際は
{ 3={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
{ (x^p/3)=(z+y)
を満たすかもしれない。

全ての自然数に、対しての証明は不可能なので
>>1の証明は間違っています。

（再掲）
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=4のとき、成り立つ。
これを、(x^p/1)=(z+y)に代入すると、x=3のとき、成り立つ。
(3)が成り立つので、(1),(2)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

(別解)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)とする。
(2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなる。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x,yが自然数のとき、zは自然数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>239
>x=1、y=2が
{ 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
{ (x^p/1)=(z+y)
を満たさないのは1つの例であって、実際は
{ 3={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
{ (x^p/3)=(z+y)
を満たすかもしれない。

その場合は、(z^p/a)a=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}…(2)となります。

>>242
つまりあなたの理屈で、
z=5,y=3のとき
{ 1=(z-y)
{ (x^p/1)=(z+y)
が成り立たないので、(3)が成り立たない。
z=5,y=3のとき(3)が成り立たないので、z=5,y=3のとき(1),(2)も成り立たない。

しかし実際にはz=5,y=3のとき(2)が成り立つ。どこかがおかしい。

のと同様に

x=1、y=2のとき
{ 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
{ (x^p/1)=(z+y)
が成り立たないので、(3)が成り立たない。
x=1、y=2のとき(3)が成り立たないので、x=1、y=2のとき(1),(2)も成り立たない。

しかし実際にはx=1、y=2のとき(2)が成り立つかもしれないので調べないといけない。
でも>>1では調べていない

全ての自然数に、対しての証明は不可能なので
>>1の証明は間違っています。

>>222 日高
> >218
> >> 根拠が、必要です。
>
> これこれとおく、のに根拠なんかいらないよ。
>
> どうしてでしょうか？

「これこれとおく」は特別な場合を考えるだけだから。

>>224 日高
> >219
> >> どうして、定義にならないのでしょうか？
>
> では、君の知っている定義なるものをひとつあげてください。
> 何の定義でも構いません。
>
> 偶数とは、２の倍数である。

「２の倍数」の定義は？

x^2-xy+y^2=1987561とz^3/1987561=x+yとをみたす自然数x,y,zは存在しますか？

>>1 日高
は「Pが成り立つときRである」を示すのに
「Pが成り立つときQが成り立つか成り立たないかのどちらかである。
Qが成り立てばこれこれの理由でRが成り立つ。
Qが成り立たなければこれこれの理由でRが成り立つ。
よってPが成り立つときRが成り立つ」とする議論をまねているのかもしれないが
誤り。

>243
>z=5,y=3のとき
{ 1=(z-y)
{ (x^p/1)=(z+y)
が成り立たないので、(3)が成り立たない。
z=5,y=3のとき(3)が成り立たないので、z=5,y=3のとき(1),(2)も成り立たない。

この場合は、a=2なので、(2)の場合となります。

>x=1、y=2のとき
{ 1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}
{ (x^p/1)=(z+y)
が成り立たないので、(3)が成り立たない。
x=1、y=2のとき(3)が成り立たないので、x=1、y=2のとき(1),(2)も成り立たない。

この場合は、p=3のとき、a=3なので、(2)の場合となります。

>244
>> >> 根拠が、必要です。
>
> これこれとおく、のに根拠なんかいらないよ。
>
> どうしてでしょうか？

「これこれとおく」は特別な場合を考えるだけだから。

良くわかりません。

（再掲）
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=4のとき、成り立つ。
これを、(x^p/1)=(z+y)に代入すると、x=3のとき、成り立つ。
(3)が成り立つので、(1),(2)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

(別解)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)とする。
(2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなる。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x,yが自然数のとき、zは自然数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>245
>> 偶数とは、２の倍数である。

「２の倍数」の定義は？

1の位の数が、0または偶数ならば、その数は2の倍数である。

>246
>x^2-xy+y^2=1987561とz^3/1987561=x+yとをみたす自然数x,y,zは存在しますか？

存在しません。

>247
>は「Pが成り立つときRである」を示すのに
「Pが成り立つときQが成り立つか成り立たないかのどちらかである。
Qが成り立てばこれこれの理由でRが成り立つ。
Qが成り立たなければこれこれの理由でRが成り立つ。
よってPが成り立つときRが成り立つ」とする議論をまねているのかもしれないが
誤り。

具体的に、私の証明のどの部分を指しているのかを、指摘していただけないでしょうか。

>>248
つまり、等式の性質とやらはすべて間違いで、
(2)の場合を考えていない証明はすべて間違い、ということですか？

>255
>>>248
つまり、等式の性質とやらはすべて間違いで、
(2)の場合を考えていない証明はすべて間違い、ということですか？

どういう意味でしょうか？具体的に説明していただけないでしょうか。

>>256
あなたの理屈では
> 等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
> (3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
だから(2)の場合を考えなくていい、ということを書きましたよね？

でも実際にはあなたの理屈で(3)が成り立たないが(2)が成り立つ例があります。
だから(2)の場合も調べないといけないですよね？

>257
>> 等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
> (3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
だから(2)の場合を考えなくていい、ということを書きましたよね？

でも実際にはあなたの理屈で(3)が成り立たないが(2)が成り立つ例があります。
だから(2)の場合も調べないといけないですよね？

その例を示していただけないでしょうか。

>>252 日高
> 1の位の数が、0または偶数ならば、その数は2の倍数である。

それは定義というよりは見分け方だね。じゃあ7の倍数の定義は？

>>258
>>243

>>253 日高
> >246
> >x^2-xy+y^2=1987561とz^3/1987561=x+yとをみたす自然数x,y,zは存在しますか？
>
> 存在しません。

x^2-xy+y^2=1987561をみたす自然数x,yが存在するかどうかもすぐにわかりますか？

>>254 日高
> >247

> 具体的に、私の証明のどの部分を指しているのかを、指摘していただけないでしょうか。

>>251でいえば「r^(p-1)=pのとき」は考えているが「r^(p-1)≠pのとき」を考えていない。

>>249 日高

もしかして>>251で「r^(p-1)=pのとき」という特別な場合だけを検討するのに
「根拠がある」と考えている？

>259
>>>252 日高
> 1の位の数が、0または偶数ならば、その数は2の倍数である。

それは定義というよりは見分け方だね。じゃあ7の倍数の定義は？

7で、割り切れる数です。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、
x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。
(x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2)
(x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3)
等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。
(3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。
(3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。
AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。
1=(z-y)は、z=5、y=4のとき、成り立つ。
これを、(x^p/1)=(z+y)に代入すると、x=3のとき、成り立つ。
(3)が成り立つので、(1),(2)も成り立つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

(別解)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p
(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r}
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)とする。
(2)は、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pとなる。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x,yが自然数のとき、zは自然数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>260
>>>243

243のどの部分でしょうか？

>>265 日高

> > それは定義というよりは見分け方だね。じゃあ7の倍数の定義は？

> 7で、割り切れる数です。

「7で割り切れる」の定義は？

>262
>> >246
> >x^2-xy+y^2=1987561とz^3/1987561=x+yとをみたす自然数x,y,zは存在しますか？
>
> 存在しません。

x^2-xy+y^2=1987561をみたす自然数x,yが存在するかどうかもすぐにわかりますか？

わかりませんが、x^2-xy+y^2=1987561とz^3/1987561=x+yとをみたす自然数x,y,zが、
存在しないことは、わかります。

>>271 日高

> わかりませんが、x^2-xy+y^2=1987561とz^3/1987561=x+yとをみたす自然数x,y,zが、
> 存在しないことは、わかります。

なぜ？　1987561を1に置き換えた場合だけ調べてそんなことまでわかりますか？

>263
>>>251でいえば「r^(p-1)=pのとき」は考えているが「r^(p-1)≠pのとき」を考えていない。

「r^(p-1)≠pのとき」を考える必要がないからです。

>>273 日高

> >>>251でいえば「r^(p-1)=pのとき」は考えているが「r^(p-1)≠pのとき」を考えていない。
>
> 「r^(p-1)≠pのとき」を考える必要がないからです。

なぜ、必要がないとわかるのですか？