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どうして、z=5、y=3は、1=(z-y)の自然数解でないことが、
pが2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。ことになるのでしょうか？

「z=5、y=3は、1=(z-y)の自然数解でない」は、一つの例でしかありません。
「x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。」は、全ての自然数に、対してのものです。