e＋π を代数的数とする。a＝e＋π、b＝π−e とする。eは超越数だから、仮定とbの定義からbは超越数である。
π≒3.14 から、31/10＜π＜32/10。
5＜a＝Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/k!)＋π＜28/10＋π＜28/10＋32/10＝6、
0＜b＝π−Σ_{k=0,1,…,+∞}(1/k!)＜π−5/2＜1
から、0＜b＜π＜a＜6＜2π。
cを b＜c＜a なる任意の代数的数とする。
c＞0 に注意して d(c)＝a/c、d'(c)＝b/c とする。d(c) をd、d'(c) を d' と略記する。
平面 R^2 上において、原点 O(0,0) からx軸正方向への半直線を考えて、点 O(0,0) が中心の単位円周C上で、
点 A(1,0) を A(1,0) から反時計回りに角 π^2/c だけ回転させた点 X(cos(π^2/c),sin(π^2/c)) と点 O(0,0) とを結ぶ直線を L(c) とする。
加法定理から、cos((d−1)π)＝−cos(dπ)、sin((d−1)π)＝−sin((dπ) だから、
平面 R^2 上において、原点 O(0,0) からx軸正方向への半直線を考えて、点 O(0,0) が中心の単位円周C上で、
点 A(1,0) を A(1,0) から反時計回りに角 (d−1)π＝((a/c)−1)π＝((e＋π)/c−1)π だけ回転させた点は、B(−cos(dπ),−sin(dπ)) である。
平面 R^2 上において、原点 O(0,0) と点 B(−cos(dπ),−sin(dπ)) とを結ぶ直線を (L_1)(c) とする。
また加法定理から、cos((d'＋1)π)＝−cos(d'π)、sin((d'＋1)π)＝−sin(d'π) だから、
同様に、平面 R^2 上において、原点 O(0,0) からx軸正方向への半直線を考えて、点 O(0,0) が中心の単位円周C上で、
点 A(1,0) を A(1,0) から反時計回りに角 (d'＋1)π＝((b/c)＋1)π＝((π-e)/c＋1)π だけ回転させた点は、C(−cos(d'π),−sin(d'π)) である。
平面 R^2 上において、原点 O(0,0) と点 C(−cos(d'π),−sin(d'π)) とを結ぶ直線を (L_2)(c) とする。
同様に考えて、点 O(0,0) が中心の単位円周C上で、点 A(1,0) を A(1,0) から反時計回りに角 π だけさせた点は (−1,0) である。
同様に考えて、点 O(0,0) が中心の単位円周C上で、点 A(1,0) を A(1,0) から反時計回りに角 2π だけ回転させた点は、A(1,0) である。