>>143
補足

Q：連続写像の定義には，なぜ開集合の「逆像」をつかうのですか？
取りあえず貼る（＾＾
http://www12.plala.or.jp/echohta/top.html
位相空間・質問箱 大田春外
http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/QA013.html
読者からの質問と回答　01121 ? 01130 大田春外
(抜粋)
Ｙ．Ｙ．さんからの質問　#01129
連続写像の定義には，なぜ開集合の「逆像」をつかうのですか？
位相空間の間の連続写像の定義に「逆像」を用いるのはなぜでしょうか．
写像による位相構造の保存が連続性の意味であると思うのですが，そうだとしたら，開写像や閉写像の定義の方が，直感的には連続の定義として受け入れやすいと感じています． 大学の講義では，距離空間間の連続写像の定義から命題として，
「写像 f: X ---> Y が連続 <=> Y の任意の開集合 O に対し，f^{-1}(O) が X の開集合」
を導き，これを一般の位相空間における連続写像の定義とする流れをとっていました． 論理展開としては理解できますが，何となく受け入れ難さを感じています．
よろしくお願いします．

お答えします：
連続性が何を表現しているかということを考えてみるとよいのではないでしょうか．
一般に，写像 f: X ---> Y は，空間 X を空間 Y に変形するときの点の対応を表していると考えることが出来ます． このとき「 f が連続であるとは，この変形によって X が破れない（＝切れない）」ことを表現しています。 このことは 『はじめよう位相空間』に詳しく説明しました．
一方，位相空間は，開集合が増加すると離散的な状態になり，開集合が減少すると密着的な状態になるという性質があります． したがって，写像 f: X ---> Y が連続になる（すなわち，X が破れない，離散的にならない）ためには，あくまで大ざっぱに言えばですが，f によって開集合が増えないことが必要です．

つづく