>>512
(引用開始)
たとえば、f:R→R ,x→x^2
このようなものは考えてはいけないということですか？
ごくごく普通のことだと思うのですが
(引用終り)

まず、こっちは>>511の通り 実関数ｆ：X→Y で定義しているでしょ
勝手にすり替えは まずいよ

次に、下記の記事ご参照
１）この関数は、x=0で不連続だ。それを調べるのに、ε=1000000000000 とかバカげているよ
２）この関数は、x=1で連続だ。それを調べるのに、ε=1000000000000 とかバカげているよ
以上

（参考）
https://math.nakaken88.com/textbook/basic-continuity-of-function/
なかけんの数学ノート
数学III 関数と極限
【基本】関数の連続性
2018年8月30日
(抜粋)
次のような関数
f(x)
を考えてみましょう。
f(x)
={x^2 (x≠0)
=1 (x=0)
https://math.nakaken88.com/wp-content/uploads/2018/08/basic-continuity-of-function-01.png
x→0
としたときに、
f(x)→0
となり、極限は存在します。しかし、
f(0)=1
なので、
x→0
としたときの極限と
f(0)
の値は一致しません。よって、この関数は
x=0
で不連続となります。実際、グラフも途切れています。
(引用終り)