【Im f =Yとなる対偶法の失敗例】

写像f：X→Yについて

X　→　Y

∪　　　∪

X　→　Im f

と書ける
このときIm f=Yを示したい
そのためにY⊆Im fをいえばよい

対偶

∃f(x_1)(f(x_1)∈Im f→f(x_1)∈Y)

を示す
∃f(x_1)(f(x_1)∈Im f)を前提とする
このとき適当にf(a)∈Im fを選ぶ
いまIm f⊆Yであるから標準的単射

Im f→Y；　f(x_2)→f(x_2)

が存在する
ここでもf(x_2)について適当にf(a)∈Im fを選べば
f(a)∈Yを得る

ゆえに対偶が成立するのでY⊆Im fが成立する

このようにタブロー法を知る前の僕の黒歴史です

初めは対偶について

∃f(x_1)(f(x_1)¬∈Im f→f(x_1)¬∈Y)や
∃f(x_1)(f(x_1)¬∈¬Im f→f(x_1)¬∈¬Y)

について考えていましたが∃f(x_1)(f(x_1)¬∈¬Im f→f(x_1)¬∈¬Y)は
∃f(x_1)(f(x_1)∈Im f→f(x_1)∈Y)と同値であることに気づいたものの
適当な元のとり方を知らなかったのでこのような過ちが起きていました
しかも
∃f(x_1)(f(x_1)¬∈Im f→f(x_1)¬∈Y)
というのはIm fやYに属さない元なら何でもよいという話になるので
意味不明でした
そういう意味で対偶法は危険です