『全てのx(∈R)に対して　|x-a|＜δ(ε )　ならば　|f(x)-f(a)|＜ε』　が成り立つということは
『|x-a|＜δ(ε )　を満たすxは必ず　|f(x)-f(a)|＜ε　を満たす』という事です。

数学において『任意の正の数εに対して』と『全ての正の数εに対して』とは
同じことを意味し記号『∀ε>0』で表します。

(1)が何を意味しているのかをより分かりやすくする為に

P(ε,δ) : 『全てのx(∈R)に対して|x-a|＜δ ならば|f(x)-f(a)|＜ε』
とおきます。

ε,δの値によってP(ε,δ)は成り立つこともあれば成り立たないこともあります。

εの値を一つに決めて固定した時、

『少なくとも一つの正の数δに対してP(ε,δ) が成り立つ』かあるいは

『全ての正の数δに対してP(ε,δ)が成り立たない』かのどちらかです。

前者のとき、その一つに決めたεに対して、ある正の数δがあってP(ε,δ)が成り立つと言います。