皆さんは(2)が成り立つと言っているのに安達さんは
『(2)が成り立つとわざわざ言うのは(3)が成り立つと思っているからだろう、
しかしεは任意といっても実際にはεは小さい必要があり、(3)が成り立つ訳がない』
と反論しているのです。

これは私には安達さんが『任意の正の数ε』の意味を誤解していることによるとしか考えられないのです。どう誤解しているかはある程度想像がつきますが、正確にどのように誤解しているかまでは分かりません。

最後に『ε,δ論法でなぜ関数の極限を定義できているのか』という問いに関する答えは

ε,δ論法が理解できれば明らかなのですが敢えて答えるとすると

『全ての正の数ε（任意の正の数ε）で成り立つならば、どの様な小さい正の数pをとってもε=pで成り立つから』

という事になります。

安達さんは数学において一つの記号、一つの言葉が何を意味しているかについてもう少し
注意を払う必要があります。我流で解釈しすぎではないでしょうか。