斎藤正彦著『斎藤正彦線型代数学』を読んでいます。

以下の定理が書いてありますが、 A = U*T （T が上三角行列）の場合しか証明されていません。

2.5.17 【定理】
任意の n 次正則行列 A はユニタリ行列 U と、対角成分が正の実数であるような上三角行列（下三角行列でもいい） T の積 U*T （T*U でもいい）として
一意的に表わされる。