フェルマーの最終定理の簡単な証明

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数とならない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数とならない。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>>652 日高
> >649
> 私と日高氏と、もう一つの対話が進んでいますよね。そちらを見てください、という意味です。
>
> どういう意味でしょうか？

>>647ほかを読め。

>>653 日高

> (2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。

> (4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
> (5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。

(5)や(3)のx,y,zは唯一に決まるわけではないのでこの言い方はおかしい。

>655
>>647ほかを読め。

どういう意味でしょうか？

>>651
> 仮定ならば、成り立つということですね。

そうです。仮定の上です。
ですので私は、>>504と同じ事を質問します。

-----
では、このようなC,Dが実際には存在しない
という事は、どのようにして言えますか？　…(ﾛ)

>>657 日高
> >655
> >>647ほかを読め。
>
> どういう意味でしょうか？

わからないなら全部読め。そのうちわかるかもしれん。

>656
(5)や(3)のx,y,zは唯一に決まるわけではないのでこの言い方はおかしい。

(5)の、x,y,zと、(3)のx,y,zの比が同じ物が、存在します。

>>660 日高
> >656
> (5)や(3)のx,y,zは唯一に決まるわけではないのでこの言い方はおかしい。
>
> (5)の、x,y,zと、(3)のx,y,zの比が同じ物が、存在します。

わかっているなら書き改めろよ。

>>653-654

証明の中でaが定義されていないのので、653も654も間違いです。

>661
> (5)の、x,y,zと、(3)のx,y,zの比が同じ物が、存在します。

わかっているなら書き改めろよ。

自明なので、書く必要がないと思いました。

>662
証明の中でaが定義されていないのので、653も654も間違いです。

a*1/a=1なので、
aが、どんな数でも、x,y,zの比は、同じとなります。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>>664
定義されていない文字が証明の中に出てくる時点で、その証明は間違いです。
よって653も654も間違いです。

> aが、どんな数でも、x,y,zの比は、同じとなります。

> r^(p-1)=pのとき
> r^(p-1)=apのとき

それ以外の場合が調べられていないので、証明は間違いです。

>667
> r^(p-1)=pのとき
> r^(p-1)=apのとき

それ以外の場合が調べられていないので、証明は間違いです。

r^(p-1)=p以外の場合は、r^(p-1)=apとなります。
aは、どんな数にでも、なりえます。

>>668

定義されていない文字が証明の中に出てくる時点で、その証明は間違いです。
よって665も6666も間違いです。

数学で
> aは、どんな数にでも、なりえます。
と言ったら、それは
p=2,x=5,y=12,z=13のとき、
a=2でも
a=3でも
a=4でも
a=0.1でも
a=100でも
式が正しくなる、ということです。
r^(p-1)=apはa=2のとき、成り立ちません。
よって
> aは、どんな数にでも、なりえます。
は間違っています。

証明の中で、定理の文章に出てきていない文字を使うなら、定義してください。
定義されていない文字が証明の中に出てくる時点で、その証明は間違いです。
よって665も6666も間違いです。

>669
r^(p-1)=apはa=2のとき、成り立ちません。
よって
> aは、どんな数にでも、なりえます。
は間違っています。

「r^(p-1)=apはa=2のとき、成り立ちません。」
成り立たない、例をあげてもらえないでしょうか？

>>670

> 成り立たない、例をあげてもらえないでしょうか？
>>669に書いてあります。

日高さんは背理法を使っているんじゃないようで、その辺で噛み合わないのかと。

日高氏の発想では、rを決めて解があるかどうか考える。途中からはaを決めて解があるかどうか考える。その意味ではaは任意の数です。

>671
> aは、どんな数にでも、なりえます。
と言ったら、それは
p=2,x=5,y=12,z=13のとき、
a=2でも
a=3でも
a=4でも
a=0.1でも
a=100でも
式が正しくなる、ということです。
r^(p-1)=apはa=2のとき、成り立ちません。

p=2,x=5,y=12,z=13のとき、
a=2ならば、
x^2+y^2=(x+4)^2となります。
x=5/2、y=12/2を代入すると、
(5/2)^2+(12/2)^2=((5/2)+4)^2となるので、
x:y:z=5:12:13となります。
a=3でも
a=4でも
a=0.1でも
a=100でも
x,y,zの比は変わりません。

>673
rを決めて解があるかどうか考える。途中からはaを決めて解があるかどうか考える。その意味ではaは任意の数です。

はい。そうです。

>>674

あなたは>>670でこう書きました
> 「r^(p-1)=apはa=2のとき、成り立ちません。」
> 成り立たない、例をあげてもらえないでしょうか？

p=2,x=5,y=12,z=13のとき、
a=2ならば、
「r^(p-1)=apはa=2のとき、成り立ちません。」

> aは、どんな数にでも、なりえます。
は間違っています。

>>674

> p=2,x=5,y=12,z=13のとき、

> x=5/2、y=12/2を代入すると、

x, yの値、思いっきり変えてるもんなあ。
こういう所改められないから、数学に向いてないんじゃない？

>676
> aは、どんな数にでも、なりえます。
は間違っています。

訂正します。
aを変えても、x,y,zの、比は変わりません。

>677
x, yの値、思いっきり変えてるもんなあ。
こういう所改められないから、数学に向いてないんじゃない？

訂正します。
aを変えても、x,y,zの、比は変わりません。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>>678

> aを変えても、x,y,zの、比は変わりません。

p=2,x=5,y=12,z=13のとき、aはどういう風に変えられますか？
p=2,x=8,y=15,z=17のときは？
p=2,x=6,y=8,z=10のときは？

>682
> aを変えても、x,y,zの、比は変わりません。

p=2,x=5,y=12,z=13のとき、aはどういう風に変えられますか？
p=2,x=8,y=15,z=17のときは？
p=2,x=6,y=8,z=10のときは？

aを、どんな数に変えても、x,y,zの、比は変わりません。

>>683

だから、具体的に
p=2,x=5,y=12,z=13のとき、aはどういう風に変えられますか？
aの例を2つ以上上げてください。

日高が言おうとしているのはこういうことだと思う。

【定理】pを奇素数とするときx^p+y^p=z^pは有理数解x,y,zを持たない。
【証明】もし解があればx<zだからz=x+rとおくとr>0。
r^(p-1)=pのときx^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)。
(3)は有理数解x,y,z(=x+p^{1/(p-1)})を持たない。
rがそれ以外の時a=r^(p-1)/pとおくとr=(ap)^{1/(p-1)}。
x^p+y^p=(x+r)^pに自然数解x=A,y=B,z=Cがあると仮定する。
A^p+B^p=(C+r)^pはA^p+B^p=[C+(ap)^{1/(p-1)}]^p…(5)。
[A/a^{1/(p-1)}]^p+[B/a^{1/(p-1)}]^p=[C/a^{1/(p-1)}+p^{1/(p-1)}]^pとなり
A/a^{1/(p-1)},B/a^{1/(p-1)},C/a^{1/(p-1)}+p^{1/(p-1)}は(3)の解。
(3)に解がなかったから(5)にも解はない。
……。

致命的な誤りは、(3)にないのは有理数解であって無理数解についてはわからない。
A/(a^{1/(p-1)}などは無理数になるので(3)の無理数解を調べないと話にならない。

>684
p=2,x=5,y=12,z=13のとき、aはどういう風に変えられますか？
aの例を2つ以上上げてください。

a=0.5
x=5/8、y=12/8、z=13/8

a=3
x=15/4、y=36/4、z=39/4

>685
A/(a^{1/(p-1)}などは無理数になるので(3)の無理数解を調べないと話にならない。

(3)の解が、無理数で、整数比となるならば、共通の無理数で割ると
その解は、有理数となります。

>>687 日高
> >685
> A/(a^{1/(p-1)}などは無理数になるので(3)の無理数解を調べないと話にならない。
>
> (3)の解が、無理数で、整数比となるならば、共通の無理数で割ると
> その解は、有理数となります。

何年もそこで止まったままですね。割った結果は(3)の解とは限らないでしょう？

>>686
証明の中で、定理の文章に出てきていない文字を使うなら、定義してください。
定義されていない文字が証明の中に出てくる時点で、その証明は間違いです。

p=2,x=5,y=12,z=13のとき、a=0.5としても
r^(p-1)=apは成り立ちません。

p=2,x=5,y=12,z=13のとき、a=3としても
r^(p-1)=apは成り立ちません。

r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)について
r^(p-1)=pも成り立たない
a=0.5でもa=3でもr^(p-1)=apも成り立たない
どちらも成り立たないときのことが書いてないので、>>680-681の証明は間違いです。

まあそれ以前に、定義されていない文字が証明の中に出てくる時点で、その証明は間違いです。

>688
何年もそこで止まったままですね。割った結果は(3)の解とは限らないでしょう？

「(3)の解が、無理数で、整数比となるならば、」(3)の解となります。

>>690 日高
> >688
> 何年もそこで止まったままですね。割った結果は(3)の解とは限らないでしょう？
>
> 「(3)の解が、無理数で、整数比となるならば、」(3)の解となります。

それはそうですよ。「(3)の解が…(3)の解となります，ですから。それは証明とは関係ありません。

>>690
> >688
> 何年もそこで止まったままですね。割った結果は(3)の解とは限らないでしょう？
>
> 「(3)の解が、無理数で、整数比となるならば、」(3)の解となります。

方程式とか解とか、用語を意味わからず使っているから永遠に誤魔化し。
そして、数学を学んだ人を誰一人説得出来ていないので、数学的に間違い。

数学を勉強するか、まともな言葉使いをするか、間違いを認めてどこかへ消えろ。

誤魔化し、疑問、過去の繰り返しの返信禁止。

>>687 日高
> >685
> A/(a^{1/(p-1)}などは無理数になるので(3)の無理数解を調べないと話にならない。
>
> (3)の解が、無理数で、整数比となるならば、共通の無理数で割ると
> その解は、有理数となります。

順番が逆。(5)の自然数解があったら、a^{1/(p-1)}で一斉に割ると(3)の無理数解になる。

>685
x^p+y^p=(x+r)^pに自然数解x=A,y=B,z=Cがあると仮定する。
A^p+B^p=(C+r)^pはA^p+B^p=[C+(ap)^{1/(p-1)}]^p…(5)。

なぜ、この式になるかが、わかりません。

>688
割った結果は(3)の解とは限らないでしょう？

割った結果は(3)の解とはなりません。

>689
定義されていない文字が証明の中に出てくる時点で、その証明は間違いです。

aを、どんな数に定義しても、x,y,zの、比は同じとなります。

>693
順番が逆。(5)の自然数解があったら、a^{1/(p-1)}で一斉に割ると(3)の無理数解になる。

(5)に自然数解があったら、(3)にも、自然数解があることに、なります。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>>694 日高
> >685
> x^p+y^p=(x+r)^pに自然数解x=A,y=B,z=Cがあると仮定する。
> A^p+B^p=(C+r)^pはA^p+B^p=[C+(ap)^{1/(p-1)}]^p…(5)。
>
> なぜ、この式になるかが、わかりません。

r=(ap)^{1/(p-1)}でしょう？

>>697 日高
> >693
> 順番が逆。(5)の自然数解があったら、a^{1/(p-1)}で一斉に割ると(3)の無理数解になる。
>
> (5)に自然数解があったら、(3)にも、自然数解があることに、なります。

なぜですか？

>700
r=(ap)^{1/(p-1)}でしょう？

Cは、Aではないでしょうか？

>701
> (5)に自然数解があったら、(3)にも、自然数解があることに、なります。

なぜですか？

(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となるからです。

>>702 日高
そうでした。失礼しました。

>>703 日高
> >701
> > (5)に自然数解があったら、(3)にも、自然数解があることに、なります。
>
> なぜですか？
>
> (5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となるからです。

a^{1/(p-1)}は無理数でしょう？

>705
a^{1/(p-1)}は無理数でしょう

rが、有理数ならば、a^{1/(p-1)}は無理数となります。

>>706 日高
自然数の無理数倍は無理数です。

>707
自然数の無理数倍は無理数です。

その通りだと、思います。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

>>708 日高
じゃあなぜ自然数解があると言えますか？

>710
じゃあなぜ自然数解があると言えますか？

どういう意味でしょうか？

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>>711 日高
>>697で自分が言ったことをもう忘れたんですか？

誤字があったのとaが無駄だったので書き直し。

日高が言おうとしているのはこういうことだと思う。

【定理】pを奇素数とするときx^p+y^p=z^pは有理数解x,y,zを持たない。
【証明】もし解があればx<zだからz=x+rとおくとr>0。
r=p^{1/(p-1)}のときx^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)。
(3)は有理数解x,y,z(=x+p^{1/(p-1)})を持たない。
rが一般の時。
x^p+y^p=(x+r)^pに自然数解x=A,y=B,z=A+r=Cがあると仮定する。
A^p+B^p=(A+r)^pは
[Ap^{1/(p-1)}/r]^p+[Bp^{1/(p-1)}/r]^p=[Ap^{1/(p-1)}/r+p^{1/(p-1)}]^pとなり
Ap^{1/(p-1)}/r,Bp^{1/(p-1)}/r,Ap^{1/(p-1)}/r+p^{1/(p-1)}は(3)の解。
(3)に解がなかったから(5)にも解はない。
……。

致命的な誤りは、(3)にないとわかったのは有理数解であって無理数解についてはわかっていない。
Ap^{1/(p-1)}/rなどは無理数になるので(3)の無理数解を調べないと話にならない。

>713
>>697で自分が言ったことをもう忘れたんですか？

(5)に自然数解があったら、(3)にも、自然数解があることに、なります。
だと、思います。

>714
致命的な誤りは、(3)にないとわかったのは有理数解であって無理数解についてはわかっていない。
Ap^{1/(p-1)}/rなどは無理数になるので(3)の無理数解を調べないと話にならない。

(3)に、無理数で、整数比の解があるならば、共通の無理数で、割ると、有理数と
なります。

>>716 日高
> >714
> 致命的な誤りは、(3)にないとわかったのは有理数解であって無理数解についてはわかっていない。
> Ap^{1/(p-1)}/rなどは無理数になるので(3)の無理数解を調べないと話にならない。
>
> (3)に、無理数で、整数比の解があるならば、共通の無理数で、割ると、有理数と
> なります。

確かに有理数になります。しかしそれは(3)の解ではありません。

>717
確かに有理数になります。しかしそれは(3)の解ではありません。

「しかしそれは(3)の解ではありません。」
どうしてでしょうか？

>>718 日高
> 「しかしそれは(3)の解ではありません。」
> どうしてでしょうか？

1以外の数で割っているからです。もしも(3)の解になるというなら、証明してみせてください。

x^3 + y^3 = (x+√3)^3 …(1)
をx=s, y=t　がみたしたとき
sとtを共通の実数aで割った数
x=s/a, y=t/a
も(1)を満たすと思っているのが日高の勘違いなんだよな

>>696

> aを、どんな数に定義しても、

つまり、aが任意の数であるとして、

3つのの場合の1つめ：　r^(p-1)=pが成り立つ
3つのの場合の2つめ：　r^(p-1)=pが成り立たないが、r^(p-1)=apが成り立つ
3つのの場合の3つめ：　r^(p-1)=pも成り立たないし、r^(p-1)=apも成り立たない

の3つの場合があるのに、1つ目と2つ目のことしか考えていないので、証明は間違いです。

>719
1以外の数で割っているからです。もしも(3)の解になるというなら、証明してみせてください。

失礼しました。(3)の解にはなりません。
x^p+y^p=z^pの解x,y,zを、2で、割ると、
(x/2)^p+(y/2)^p=(z/2)^pとなります。

>720
x^3 + y^3 = (x+√3)^3 …(1)
をx=s, y=t　がみたしたとき
sとtを共通の実数aで割った数
x=s/a, y=t/a
も(1)を満たすと思っているのが日高の勘違いなんだよな

x^3 + y^3 = (x+√3)^3 …(1)
をx=s, y=t,x+√3=u　がみたしたとき
sとtとuを共通の実数aで割った数は、
(s/a)^p+(t/a)^p=(u/a)^pを、満たします。

>721
3つのの場合の1つめ：　r^(p-1)=pが成り立つ
3つのの場合の2つめ：　r^(p-1)=pが成り立たないが、r^(p-1)=apが成り立つ
3つのの場合の3つめ：　r^(p-1)=pも成り立たないし、r^(p-1)=apも成り立たない

の3つの場合があるのに、1つ目と2つ目のことしか考えていないので、証明は間違いです。

r^(p-1)=apが成り立つならば、r^(p-1)=pも、成り立ちます。
理由は、a*1/a=1だからです。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>>723 日高
> >720
> x^3 + y^3 = (x+√3)^3 …(1)
> をx=s, y=t　がみたしたとき
> sとtを共通の実数aで割った数
> x=s/a, y=t/a
> も(1)を満たすと思っているのが日高の勘違いなんだよな
>
> x^3 + y^3 = (x+√3)^3 …(1)
> をx=s, y=t,x+√3=u　がみたしたとき
> sとtとuを共通の実数aで割った数は、
> (s/a)^p+(t/a)^p=(u/a)^pを、満たします。

で、(1)は満たすんですか満たさないんですか。

さらに書き直し。

日高が言おうとしているのはこういうことだと思う。

【定理】pを奇素数とするときx^p+y^p=z^pは有理数解x,y,zを持たない。
【証明】もし解があればx<zだからz=x+rとおくとr>0。
r=p^{1/(p-1)}のとき。このrをρと書こう。ρは無理数である。
x^p+y^p=(x+ρ)^p…(3)。
(3)は有理数解x,y,z(=x+ρ)を持たない。
rが一般の時。
x^p+y^p=(x+r)^pに自然数解x=A,y=B,z=A+r=Cがあると仮定する。
A^p+B^p=(A+r)^pは
(Aρ/r)^p+(Bρ/r)^p=(Aρ/r+ρ)^pとなり
Aρ/r,Bρ/r,Aρ/r+ρは(3)の解。
(3)に解がなかったから(5)にも解はない。
……。

致命的な誤りは、(3)にないとわかったのは有理数解であって無理数解についてはわかっていない。
Aρ/rなどは無理数になるので(3)の無理数解を調べないと話にならない。

>>722 日高
> >719
> 1以外の数で割っているからです。もしも(3)の解になるというなら、証明してみせてください。
>
> 失礼しました。(3)の解にはなりません。

じゃあ君の証明は失敗でないの。

> x^p+y^p=z^pの解x,y,zを、2で、割ると、
> (x/2)^p+(y/2)^p=(z/2)^pとなります。

こんな余計なことを書いても何にもならないよ。

>727
で、(1)は満たすんですか満たさないんですか。

>727
で、(1)は満たすんですか満たさないんですか。

満たします。

>728

致命的な誤りは、(3)にないとわかったのは有理数解であって無理数解についてはわかっていない。
Aρ/rなどは無理数になるので(3)の無理数解を調べないと話にならない。

(5)の解は、(3)の解の定数倍なので、(3)に整数比の解がなければ、
(5)にも、整数比の解は、ありません。

>729
> x^p+y^p=z^pの解x,y,zを、2で、割ると、
> (x/2)^p+(y/2)^p=(z/2)^pとなります。

こんな余計なことを書いても何にもならないよ。

この場合の2は、無理数であっても、同じです。

>>731 日高
じゃあ証明して。

>>732 日高
> (5)の解は、(3)の解の定数倍なので、(3)に整数比の解がなければ、
> (5)にも、整数比の解は、ありません。

(3)に整数比の解がないことは示せていません。

>>733 日高
> この場合の2は、無理数であっても、同じです。

それはフェルマーの最終定理の証明とどう関係するのでしょうか？

>734
>>731 日高
じゃあ証明して。

x+√3=uなので、(1)を満たします。

>735
(3)に整数比の解がないことは示せていません。

(3)はrが無理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数とならない。
ので、
x,y,zは、整数比となりません。

>736
> この場合の2は、無理数であっても、同じです。

それはフェルマーの最終定理の証明とどう関係するのでしょうか？

x,y,zが、無理数で整数比となるならば、有理数で、整数比となります。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

>>737 日高
> x+√3=uなので、(1)を満たします。

問題はs,t,uをaで割った数ですよ。ごまかさないでください。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>>738日高
> (3)はrが無理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数とならない。
> ので、
> x,y,zは、整数比となりません。

yが無理数の場合があるでしょう？　ごまかさないでください。

>741
問題はs,t,uをaで割った数ですよ。ごまかさないでください。

x^3 + y^3 = (x+√3)^3 …(1)
> をx=s, y=t,x+√3=u　がみたしたとき
> sとtとuを共通の実数aで割った数は、
> (s/a)^p+(t/a)^p=(u/a)^pを、満たします。

s,t,uをaで割った数は、s/a,s/a,u/aとなります。

>>744 日高
> s,t,uをaで割った数は、s/a,s/a,u/aとなります。

(s/a)^3 + (t/a)^3 = (s/a+√3)^3は成り立つんですか？

>743
> (3)はrが無理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数とならない。

yが無理数の場合があるでしょう？　ごまかさないでください。

x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3) p^{1/(p-1)}=αのとき、
(αx)^p+(αy)^p=(αx+α)^pは、
x^p+y^p=(x+1)^p…(4)となります。
(4)のx,yは、(3)のx,yの定数倍となります。
よって、yが無理数の場合も、整数比となりません。

>745
(s/a)^3 + (t/a)^3 = (s/a+√3)^3は成り立つんですか？

aが、有理数の場合は、s,tが、有理数のとき、成り立ちません。
a=n√3の場合は、s,tが、有理数のとき、成り立ちません。
aが√3以外の無理数の場合は、s,tが、有理数のとき、成り立ちません。

>>746 日高
> x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3) p^{1/(p-1)}=αのとき、
> (αx)^p+(αy)^p=(αx+α)^pは、
> x^p+y^p=(x+1)^p…(4)となります。
> (4)のx,yは、(3)のx,yの定数倍となります。
> よって、yが無理数の場合も、整数比となりません。

αは定数です。それ以外の場合がありません。
ごまかさないでください。

>>747 日高
成り立たない場合があると君の証明は破綻するのでは？

>748
αは定数です。それ以外の場合がありません。
ごまかさないでください。

「αは定数です。それ以外の場合がありません。」

どういう意味でしょうか？

>749
>>747 日高
成り立たない場合があると君の証明は破綻するのでは？

どういう意味でしょうか？

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。