修正５
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは、整数比とならない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はxが有理数の場合、rが無理数なので、解x,yは整数比とならない。
(3)のxが無理数で、x,yが整数比となる場合は、(mr)^p+(nr)^p=(mr+r)^pとなる。(r=p^{1/(p-1)}、m,nは有理数)
両辺をr^pで割ると、m^p+n^p=(m+1)^pとなる。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)の解x,yは、(3)の解x,yのa^{1/(p-1)}倍となるので、整数比とならない。
(5)は(ap)^{1/(p-1)}=1のとき、、m^p+n^p=(m+1)^pと同じ形となる。
しかし、m^p+n^p=(m+1)^pの、m,nは、整数比なので、(5)の解x,yとならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは、整数比とならない。