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> > (a'√3)^3+(b'√3)^3=(a'√3+√3)^3
なぜ等しくなりませんか?

(a'√3)^3+(b'√3)^3=(a'√3+√3)^3は、
(a')^3+(b')^3=(a'+1)^3となります。
(5)により、
r=1のとき、a',b'が、整数比とならないからです。