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> x^3+y^3=(x+√3)^3にx:y:zが整数比となる無理数解があるならば、
> x^3+y^3=(x+√3)^3にx:y:zが整数比となる有理数解があります。

これを証明してくれてもいいです。

x^3+y^3=z^3を満たすx,y,zが、無理数のとき、その、x,y,zを、共通の無理数で割ると、
商は、有理数となります。