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式が違います。x^3+y^3=(x+√3)^3です。

z=x+√3ですので、x=m√3,y=n√3のとき、x,yは、整数比となります。(m,nは、有理数)
(m√3)^3+(n√3)^3=(m√3+√3)^3
両辺を、√3^3で割ると、
m^3+n^3=(n+1)^3
m,nは、整数なので、解となりません。