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> x、y、zが有理数ならば、rは有理数です。

そう、その通り。
x、y、zが有理数ならば、満たす式はx^3+y^3=(x+(有理数))^3であってx^3+y^3=(x+√3)^3ではありません。

式が違います。

x^3+y^3=(x+√3)^3なので、x、y、zは、有理数となりません。