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x:y:z(=x+√3)が整数比となる無理数解x,y,zが存在しないことです。

x^3+y^3=(x+√3)^3
x=m√3,y=n√3を、代入すると、(m,nは、有理数とする。)
(m√3)^3+(n√3)=(m√3+√3)^3となる。
両辺を、(√3)^3で割ると、
m^3+n^3=(n+1)^3
rが有理数のときの、x,yは(3)のときのx,yのa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)の、x,yは、有理数とならない。
よって、m,nは、有理数とならない。