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p=3のとき、
x=2(6(3^(1/6))+4√3+3(3^(5/6)))、y=6(3^(1/6))+4√3+3(3^(5/6))
はx^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)の解であり、
このとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)のx/yは2になる、ということで問題ないですね。

6(3^(1/6))+4√3+3(3^(5/6))=wとおくと、
(2w)^3+(w)^3=(2w+√3)^3
両辺を、w^3で割ると、
2^3+1^3=(2+√3/w)^3
この場合は、x/y=2となります。
2^3+1^3=(2+√3/w)^3と、2^3+1^3=(2+√3)^3は、式が違います。