>>581
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yが有理数のとき、xは無理数となる。xが有理数のとき、yは無理数となる。

p=3のとき、
x=2(6(3^(1/6))+4√3+3(3^(5/6)))、y=6(3^(1/6))+4√3+3(3^(5/6))は(3)の解で、ｘが無理数、ｙが無理数である。x/y=2である。(※)
x=3√3(9+3(2^(2/3))(7^(1/3))+(2^(4/3))(7^(2/3)))、y=√3(9+3(2^(2/3))(7^(1/3))+(2^(4/3))(7^(2/3)))は(3)の解で、ｘが無理数、ｙが無理数である。x/y=3である。(※)
x=4√3(16+4(65^(1/3))+65^(2/3))、y=√3(16+4(65^(1/3))+65^(2/3))は(3)の解で、ｘが無理数、ｙが無理数である。x/y=4である。(※)
x=5(3^(1/6))(25(3^(1/3))+15(14^(1/3))+3(42^(2/3)))、y=(3^(1/6))(25(3^(1/3))+15(14^(1/3))+3(42^(2/3)))は(3)の解で、ｘが無理数、ｙが無理数である。x/y=5である。(※)
このようなx/yが有理数となるような(3)の解は無限にある。(※)

rが有理数のときは、r=(ap)^{1/(p-1)}となるので、x,yは(3)のときのx,yのa^{1/(p-1)}倍となる。

ｒが有理数、ｘが有理数、ｙが有理数の時、x,yをa^{1/(p-1)}で割ればxが無理数、ｙが無理数となって無限に存在する(※)の場合のうちのどれかになる。

∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、0を除く有理数の解を持たないとはいえない。