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x^3+y^3=(x+√3)^3にx:y:zが整数比となる無理数解があると仮定すれば
x^3+y^3=(x+√3)^3にx:y:zが整数比となる有理数解があるはずだ
は間違いです。

間違いの、理由を教えて下さい。

有理数解がないと分かっているのに有理数解があるはずだと考えるわけがありません。

有理数解があるはずだとは、考えていません。