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>>　何も条件がなく、他に解があろうがなかろうが関係なく、常に必ず
>> x^3+y^3=(x+√3)^3にx:y:zが整数比となる有理数解がないことが証明できるので
>
> これが理由です。

とお答えしたのですが。

x^3+y^3=(x+√3)^3にx:y:zが整数比となる有理数解がないことが証明できるので

はい、整数比となる有理数解がないことが証明できます。