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実際にはx^3+y^3=(x+√3)^3に整数比となる有理数解が、ないことから
x^3+y^3=(x+√3)^3にx:y:zが整数比となる無理数解がないといえる、根拠が、ありません。

根拠は、(sw)^3+(tw)^3=(uw)^3と、s^3+t^3=u^3は、同じということです。
但しs,t,uは、有理数、wは無理数とします。