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> (4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
あなたの証明にあるこれを使っただけですが

x+(ap)^{1/(p-1)}が、有理数のとき、(5)のx,yは整数比となりません。