>>87 日高

> 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解は、整数比とならない。
> 【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
> (1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
> r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
> (2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。

何度も言っているように、(2)の形に展開して戻すのは無駄。
r^(p-1)=pをみたすrをρと書く。(3)はx^p+y^p=(x+ρ)^p。

> (3)はxが有理数の場合、rが無理数なので、zは無理数となり、解は整数比とならない。

ここは正しくは
「(3)はxが有理数の場合、r(ρ)が無理数なので、zは無理数となり、『x,y,zが有理数ならば』解は整数比とならない」
である。

> (3)のxが無理数で、整数比となる場合は、(mr)^p+(nr)^p=(mr+r)^pとなる。(m,nは有理数、rは無理数)
> 両辺をr^pで割ると、m^p+n^p=(m+1)^pとなる。
> (2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/a…(4)となる。

この展開も無駄。

> (4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。

ここでaの定義がないがr^(p-1)=apで定義するのだとすると(ap)^{1/(p-1)}=rである。
(5)は(1)と何ら変わらない。

> m^p+n^p=(m+1)^pは、(5)となるが、(5)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、整数比とならない。

a^{1/(p-1)}=r/p^{1/(p-1)}だから「(5)の解は、(3)の解の1/p^{1/(p-1)}倍」の誤りだろう。すなわち1/ρ倍。
解はただ一つに決まるわけではないので「(5)の解をρ倍すると(3)の解になる」が正しいが。
ここで「整数比とならない」と言えるのはmρ,nρが有理数の場合のみ。
しかしm,nは有理数，ρは無理数だからそういう場合はありえない。何も言えていない。

> ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解は、整数比とならない。

完全な誤りです。