メモ
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カントルの精神の継承 -? 無限集合の数学/超数学理論としてのカントルの集合論の その後の発展と，その「数学」へのインパクト
数学文化 2018年2月 渕野 昌

P7
集合論の公理系の最終形としては， ツェルメロ=フレンケル集合論( ZF) (また
はこれに選択公理を加えた ZFC) と，ゲーデルが[Godel 1940] で採用した ノイマン
=ベルナイス=ゲーデルの体系( NBG) (あるいはこの体系に選択公理の強いヴァー
ジョンを付加した NBGC) が案出されている．ZFC ではクラスを超数学での論理
式のこととして扱わなくてはならないが，NBGC では，クラスは理論のオブジェク
トとして扱かうことができるようになっている．しかしそのことを除くと，2 つの
理論は集合に関しては，それらから証明できる事実は一致することが示せるので，
実質的には同じ理論と考えてよい＊10 ．現在では，集合論の公理系としてZF また
はZFC が採用されることが圧倒的に多いのだが，それは，一つには，ZF または
ZFC が有限個の公理で公理化できず(モンダギューの定理[Montague 1955])，ZFC
で，任意の具体的に与えられたZFC の有限な部分公理系のモデルの存在が証明で
きる(レヴィ=モンタギューの反映定理の帰結の一つ)，という事実による＊11 ．こ
の事実は，後で触れる強制法の理論を用いて相対的無矛盾性の議論をする際に不
可欠となるが，NBG は有限の公理系なので，ここでは，同様の有限近似を行なう
ことができないのである．

つづく