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つづき

また、この K 理論的な構造はそれまで広く用いられてきた従来の超弦理論の記述法に
変更を迫る可能性があります。今回の話に登場する超弦理論には RR 場と呼ばれる微分
形式で表される場が登場しますが、これは微分形式なので、そのトポロジカルな分類には
当然のようにコホモロジー群が用いられてきました。特に、BPS D-brane と呼ばれる安
定な D-brane はこの RR 場に関する電荷を持っており、D-brane の電荷はコホモロジー
群によって分類されていました。あとで説明するように、K 群はコホモロジー群を拡張
したようなもので、この D-brane の電荷の分類が K 理論に取って代わられることになり
ます。D-brane の電荷に関するコホモロジー群を用いた結果と K 理論の予言とは多くの
場合一致しますが、異なる例もいろいろ知られています。そうした場合を個々に調べてみ
ると、 K 理論の予言が物理的に正しい結果を与え、コホモロジー群では不十分であると
いうことが示唆されるのです。（例えば、[2, 3] など。）
話はこれだけでは終わりません。 D-brane ｂﾌ記述法にはいｂ�｢ろあるのでｂｷが、その
一つとして行列理論を用いたものがあります。あらゆる D-brane を正しく記述し得るあ
る種の行列理論を用いて構成される安定な D-brane を分類すると、今度は（解析的な）
K-homology という概念に自然に導かれます。上の [1] で Witten が用いた D-brane の記
述法はベクトル束を用いた幾何学的なものだったのに対して、今度は行列（Hilbert 空間
の上の作用素）を用いて代数的に記述されます。この行列理論を用いると D-brane の幾
何学的な情報がすべて作用素の言葉で記述されることになるわけです。

どういう記述法を
使うにしても同じ D-brane を表すので、K 理論を用いても K-homology を用いても同じ
結果が得られるべきですが、実際、K 群と K-homology の間には双対性があって、物理
的に同じ状況設定を考えると K 群と K-homology は期待通り同型になることを見て取れ
ます。つまり、超弦理論は K 群と K-homology との間の双対性や幾何と代数の間の対応
関係を知っていたということになります。

つづく