>>156
無限和は n ≧ 1 か

n ≧ 1 において、
[n!*e] = Σ[k=0,n] n!/k! が成り立つ(*)ことを使って示す。
ただし、 [ ] はガウス記号であり、実数 x > 0 に対し、 {x} = x - [x] である。

以下において、 n ≧ 1 とする。
e = Σ[k=0,∞] 1/k! より n!*e = Σ[k=0,∞] n!/k! であるから、上の式より、
{n!*e} = n!*e - [n!*e] = Σ[k=n+1,∞] n!/k! となるので、
{n!*e}/n! = Σ[k=n+1,∞] 1/k! が成り立つ。
これより、
Σ[n=1,∞] {n!*e}/n! = Σ[n=1,∞] Σ[k=n+1,∞] 1/k!
= Σ[k=2,∞] Σ[n=1,k-1] 1/k!
= Σ[k=2,∞] 1/k! Σ[n=1,k-1] 1
= Σ[k=2,∞] (1/k!) (k-1)
= Σ[k=2,∞] k/k! - Σ[k=2,∞] 1/k!
ここで、
Σ[k=2,∞] k/k! = Σ[k=2,∞] 1/(k-1)! = Σ[k=1,∞] 1/k! = e - 1
Σ[k=2,∞] 1/k! = e - 2
ゆえに、 Σ[n=1,∞] {n!*e}/n! = 1

なお、 n = 0 のときは {0!*e}/0! = {e} = e - 2 であるので、
Σ[n=0,∞] {n!*e}/n! = e - 1

【(*)の元ネタ】面白い問題おしえて〜な 32問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/320-322