>>158
[n!*e] = Σ[k=0,n] n!/k! (n ≧ 1) の簡単な証明を思いついたので書いておく

n = 1 のときは明らか。
n > 1 のとき、
n!*e = Σ[k=0,n] n!/k! + Σ[k=n+1,∞] n!/k!
において、 Σ[k=0,n] n!/k! は整数であるので、 Σ[k=n+1,∞] n!/k! < 1 となることを示せばよい。
実際、
Σ[k=n+1,∞] n!/k! = 1/(n+1) + Σ[k=n+2,∞] n!/k!
= 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + …
< 1/(n+1) + Σ[k=1,∞] 1/(n+k)(n+k+1)
= 1/(n+1) + Σ[k=1,∞] (1/(n+k) - 1/(n+k+1))
= 1/(n+1) + 1/(n+1) = 2/(n+1) < 1
となるので成り立つ。