>>189
ご存じでしたか

>>181で重要なのは、「ほとんど全ての実数 x に関して」という部分です
いくつかの無理数の例外が存在することは問題ではありません

実際、
>>188の定理において x_n := (n-1)!, ξ = x とすれば、
ほとんど全ての実数 x に関して、 {n!*x} は [0, 1] 上で一様分布する。
{n!*x} が [0, 1] 上で一様分布するとき、 lim_[n→∞] {n!*x} は存在しない。

なぜなら、もし lim_[n→∞] {n!*x} = α ∊ [0, 1] が存在すれば、
∀ε > 0 に対し、十分大きい全ての n に対して {n!*x} ∊ (α-ε, α+ε) が成り立つ。
したがって、 α > 0 ならば ε = α/2 などととれば、十分大きい全ての n に対して
{n!*x} ∉ [0, α/2) となるが、これは一様分布の仮定に矛盾する。 α = 0 の場合も同様に矛盾が生じる。

以上より、ほとんど全ての実数 x に対し、極限値 lim[n→∞] {n!*x} は存在しない。