>>13
とりあえず前半だけ。

nをbで割った商をQ、余りをRとする。n=bQ+R …① かつ 0≦R＜b
ここでa,bは互いに素だから、b個の自然数1a,2a,3a,…,baをbで割った余りはすべて異なる。
したがって、これらb個の自然数の中でbで割った余りがRであるものがただ1つだけ存在するのでそれをaxとする。ax=bk+R …② かつ 1≦x≦b
①②から n=ax+(Q-k)b 。y=Q-kとすると n=ax+by
n＞ab≧ax であるから n-ax>0 ⇔ b(Q-k)>0 ⇔ Q-k>0

後半はどうなんだろう？ab+1以上はすべて表せるんだから、最小値がabならすなわちこの1個だけってことになってしまう。
もしかして最大値の誤りなのかしら。