とりあえずアホが代数的整数論使ってみるか

aの素因子が全て≡1(mod 3)なら十分。
3|aとするとb≡1 (mod 3), c≡2 (mod 3)またはその逆だけど前者として良い。
この時b≡1,4,7 (mod 9), c≡2,5,8 (mod 9)だがいずれにせよb^2+c^2-bc≡3 (mod 3)で矛盾。
p|a, p≡2 (mid 3)とするとpはZ[ω]の素元かつ
p|a^2 = (b+ ωc)(b-ωc)
によりp|b+ωcまたはp|b-ωcだが、いずれにせよp|bかつp|cで矛盾。