今気づいたけど、
(1/a) Σ[k=1,a] (ζ^(a-b))^k (ζ^k)^n = 1 (n ≡ b (mod a)), 0 (otherwise)
に x^n を掛けて和をとれば、
Σ[n=0,∞] x^(an+b)/(an+b)!
も計算できるね