>>55 追加（＾＾

”一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります！フィルターすげえ！！というのが上の記事の主題になります。”
https://cho-san.hatenablog.jp/entry/2018/06/09/234043
ちょーさんメモ出張版 気まぐれブログ
2018-06-09
位相空間上のフィルターの収束

先日位相空間論におけるフィルターの話をpdfにまとめてTwitterに投稿しました
filter.pdf https://drive.google.com/file/d/1I0IfshQW5bvpnPTYIHfs5mDC5CKk38k9/view?usp=sharing
詳しい証明などは上のpdf（以下上の記事）に書いたのでここでは簡単な紹介だけしようかと思います。

フィルターとは位相空間論における「点列」を（ある意味で）一般化した概念で題にあるとおりフィルターの収束というものが位相空間において定義できます。

一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります！フィルターすげえ！！というのが上の記事の主題になります。

また上の記事ではその応用としてフィルターを用いてチコノフの定理を証明しています。この証明もフィルターを使えばずいぶんシンプルになるのでフィルター強ええ！！！というのがわかります。

もう少し具体的な話をしましょう。位相空間X上の点列{xn}が点x∈Xに収束することの定義は以下の通りでした。

∀U∈N(x) ∃N∈N ∀n∈N n>=N⇒xn∈U

ただしN(x)はxの近傍系です。

つづく