【大学数学の基礎】εδ、∀∃を語るスレッド

セタ君への問題　１

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/63-65
＞定義 1.11.
＞A ⊂ R に対して, A が R の中の 開集合 とは, 次が成り立つこと:
＞∀a ∈ A,∃ε > 0 : U(a; ε) ⊂ A.

＞定理 1.15.
＞O を R の中の開集合全体の成す集合族とする. このとき次が成り立つ:
＞(1) ∅, R ∈ O,
＞(2) O1, . . . , On ∈ O ⇒ ∩(i=1~n)Oi ∈ O,
＞(3) ∀λ ∈ Λ, Oλ ∈ O ⇒ ∪(λ∈Λ)Oλ ∈ O.

定理1.15を証明せよ