>>105
>>「3 次元閉多様体」とは『4 次元空間において、”破れて穴の空いて”いない 複雑な形をした立体(3次元)』、
>「4次元において」は不要

「4次元において」は不要と言ってもよ
その定義で、四次元の実座標空間 R^4とか、四元数体とか、それがスタートでしょ
「4次元において」は不要というならば、
おまえの三次元球面の定義を、実座標空間 R^4とか、四元数体とか、使わずに書いて見ろよｗ（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E5%85%83%E7%90%83%E9%9D%A2
三次元球面
(抜粋)
四次元ユークリッド空間内の三次元球面は、固定された一点を「中心」として等距離にある点全体の成す点集合として定義することができる。
通常の球面（つまり、二次元球面）が三次元の立体である球体の境界を成すのと同様、三次元球面は四次元の立体である四次元球体の境界となる三次元の幾何学的対象である。
三次元球面は、三次元多様体の一つの例を与える。

定義
四次元の直交座標系を用いるならば、中心 (C0, C1, C2, C3) および半径 r を持つ三次元球面とは、四次元の実座標空間 R^4 において
Σ _{i=0}^{3}(x_{i}-C_{i})^{2}=(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}}
を満たす点 (x0, x1, x2, x3) 全体の成す集合に等しい。

原点を中心とする半径 1 の三次元球面を三次元単位球面 (unit 3-sphere) と呼び、ふつう S^3 で表す。式で書けば:
S^{3}:={(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})∈{R}^{4}:x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}.

三次元球面を「ノルム 1」の四元数全体として表す記法では、三次元球面は四元数体におけるベルソル（英語版）（単位四元数）全体の成す集合として同定されている。
平面極座標において単位円が重要であるのとまったく同じに、四元数の乗法の構造を入れた四次元空間内の極表示において三次元球面は重要な役割を果たす。
三次元球面をこのように見る立場は、Georges Lemaitre による楕円型空間の研究の基礎である[2]。