"代数曲線の素数pによる還元"
（参考）
https://ameblo.jp/einstein-1879-314/entry-11156612498.html
私は私の備忘録 2012/02/05
フェルマーの最終定理　３：　フライ曲線の準備
(抜粋)
"代数曲線の素数pによる還元"という言葉を定義する必要があります。
Z上の代数曲線F(x,y)=0の素数pによる還元とは、その曲線をZ/pZ（補足参照）で考える事をいいます。

例として、次のＺ上の楕円曲線（係数がＺ（整数）であるような楕円曲線）
y^2=x(x-1)(x-2)

があったとします。これを素数２で還元するとx-2=x (mod 2)となるので
y^2=x^2(x-1)

となってしまい右辺が重解を持つことが分かります。
この例からも分かるように、元々楕円曲線だったとしても素数pによる還元をとったとき、楕円曲線のままでいられるとは限りません。

しかも、Z上の楕円曲線は
y^2=a(x-b)(x^2+cx+d)
や
y^2=a(x-b)(x-c)(x-d)

等となるので、必ずある素数pの還元で潰れてしまいます。そこでその潰れ度合いを定義する言葉を用意する必要があります。それが素数pによる還元に対する安定性です。
楕円曲線がある還元によって

１　重解を持たないとき、よい還元
２　二重解になってしまうとき、乗法的還元
３　三重解になってしまうとき、加法的還元

と呼び、全ての素数pによる還元で悪くとも乗法的還元となるとき、その楕円曲線は半安定であるといいます。
つまり、全ての素数pによる還元で楕円曲線が潰れる可能性はあるけれど、ぺっちゃんこに潰れないとき半安定であるといいます。

つづく