>>60
追加
これは知っておいた方がいいかも

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E8%A8%88%E9%87%8F
ポワンカレ計量
(抜粋)
3 平面から円板への等角写像
ポアンカレ上半平面はポアンカレ円板上にメビウス変換
w=e^{iΦ} {z-z_0}/{z-z￣_0}
によって等角的に写すことができる。ここで w は、上半平面上の点 z に対応する単位円板上の点である。
この写像において、定数 z0 は上半平面上の任意の点とすることができる（この点が単位円板の中心に写る）。
実軸 Im?z =0 は単位円板の周 |w| = 1 に写る。また、実定数 φ は任意に決まった量だけ円板を回転させるために用いられる。
虚数単位 i を円板の中心に、0 を円板の最下点に写す標準写像（標準座標系）は
w= {iz+1}/{z+i}
で与えられる。