>>751 補足

１．von Neumannの自然数構成法を、出来上がった後で、眺めてみると
　結局、自然数の集合Nとは、数列Sn：＝0,1,2,・・・,n (0からnまでの自然数を順に並べた数列)
　としたもの Nn：＝{Sn}＝{0,1,2,・・・,n} (nは有限)
　で、n→∞ を考えて、lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N （つまり、これが全ての自然数を含む自然数の集合Nになる）
　さらに、Neumannの自然数構成法では、自然数の集合Nが即ち順序数でのωになる（N＝ωだ）
２．で、同じことをZermeloのシングルトンによるωの構成で考えると、同様に極限を考えることができて
　0 := {}, suc(a) := {a} と定義して（>>731より）
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になるが
　ここで、Singl_n：＝{・・・{0}・・・}　（つまり{0}で、カッコ{}がｎ重のシングルトン）として
　ω：＝lim n→∞ Singl_n と定義すれば良い
　これで、{0}のカッコ{}が∞重のシングルトンが定義できた
　また、Zermeloのシングルトンによる自然数の集合Nは、上記１と同様だ（ lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N ）
３．つまり、基礎論的には Neumannの方法がスマートだが、手間を厭わなければ、Zermelo法でも 数学的には同じように自然数の集合Nと順序数ωとが構成できる
　（なお、後者関数の選び方は、無数に可能だが、「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」（下記”ペアノの公理”ご参照））
QED （＾＾；

つづく