>>492 タイポ訂正

　よって、1/3＝0.333・・・という循環小数は、K[10^-1]には含まれない
　　↓
　よって、1/3＝0.333・・・という循環小数は、Z[10^-1]には含まれない

さて、補足です

整数環Z ⊂ 有限小数環Z[10^-1] ⊂ 有理数体Q ⊂ 実数体R
です

ちょうど
多項式環K[X](有限次数の式) ⊂ 冪級数環A[[X]]（無限次数の式）
に対応した数学的対象を考えることができるのです

有限小数環Z[10^-1]に、無限小数中の循環小数のみを加えると、有理数体Qになり
有限小数環Z[10^-1]に、全ての無限小数を加えると、実数体Rになります

参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
?体上の一変数多項式環 K[X]
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 p^k がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X^k の係数が零でないような最大の k のことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。