【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解x,y,zを持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)ははa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)はrが有理数なので、x,yは整数比となりえる。
(4)のrが、a2のとき、(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)のx,yは整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解x,y,zを持つ。
例
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、x,yは整数比となりえる。
(3)にy=7/2を代入すると、x=33/16、z=65/16となる。
(4)のrが、a2のとき、(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)のx,yは整数比となる。
r=32のとき、r=a2なので、a=16
(33/16)*16=33、(7/2)*16=56、(65/16)*16=65